河北省07年下半年偏微分方程自學考試大綱

2007-07-16 14:58:00 文章來源：字體：大小打印

偏微分方程（2015）自學考試大綱

　　一、課程性質與學習目的

　　《常微分方程》是研究自然科學和社會科學中的事物、物體和現象運動、演化和變化規律的更為基本的數學理論和方法。物理、化學、生物、工程、航空航天、醫學、經濟和金融領域中的許多原理和規律都可以描述成適當的常微分方程，如牛頓運動定律、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守恒定律、人口發展規律、生態種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲跌趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化等，對這些規律的描述、認識和分析就歸結為對相應的常微分方程描述的數學模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應用于自然科學，而且越來越多的應用于社會科學的各個領域。

　　《常微分方程》是為數學與應用數學專業開設的基礎必修課。常微分方程是數學理論聯系實際的重要橋梁之一。

　　學習《常微分方程》的目的是用微積分的思想，結合線性代數，解析幾何等知識，來解決數學理論本身和其它學科中出現的若干更重要也是更基本的微分方程問題，使學生學會和掌握常微分方程的基礎理論和方法，為學習其它數學理論，如數理方程、微分幾何、泛函分析等后續課程打下基礎；同時，通過這門課本身的學習和訓練，使學生學習數學建模的一些基本方法，初步了解當今自然科學和社會科學中的一些非線性問題，為他們將來從事相關領域的科學研究工作培養興趣，做好準備。

　　學習《常微分方程》以《數學分析》、《高等代數》、《解析幾何》為基礎，并為進一步學習其他數學理論，如《數理方程》、《微分幾何》、《泛函分析》等后續課程做準備。學習《常微分方程》以〈數學分析〉和〈高等代數〉為基礎，并為學習其他課程，如微分方程理論、數理方程、微分幾何、泛函分析等后續課程作準備。

　　二、課程內容及考核目標

　　（一）基本概念

　　1、課程內容

　　（1）微分方程常微分方程偏微分方程和微分方程組

　　（2）線性與非線性方程

　　（3）解和隱式解

　　（4）通解和特解

　　（5）積分曲線和方向場

　　2、課程難點

　　通解和特解積分曲線和方向場

　　3、考核要求

　　（1）識記：微分方程常微分方程偏微分方程與方程組線性與非線性方程解和隱式解通解與特解積分曲線與方向場等概念。

　　（2）理解：通解，積分曲線與方向場等概念的含義。

　　（3）應用：根據常微分方程的物理背景及建立方法，能從一些簡單物理現象中抽象出微分方程數學模型。

　　4、考核目標

　　了解常微分方程中的基本概念，為后面的學習做準備；掌握建立數學模型的基本方法，能建立簡單實際問題的常微分方程模型。

　　（二）一階微分方程的初等解法

　　1、課程內容

　　（1）變量分離方程與變量變換

　　（2）線性方程與常數變易法

　　（3）恰當方程與積分因子

　　（4）一階隱方程與參數表示

　　2、課程難點

　　一階隱方程的求解

　　3、考核要求

　　（1）識記：各種方程的定義，恰當方程判定的充要條件，特殊積分因子存在的條件。

　　（2）掌握：變量分離方程的求解方法，一階線性非齊次方程的常數變易法，恰當方程的解法，特殊積分因子的求法以及可解出x和y的一階隱方程的解法。

　　（3）應用：能夠運用變量變換解方程。

　　4、考核目標

　　掌握課程內容中所列各種方程的解法，并從中體會其數學思想。

　　（三）一階微分方程的解的存在唯一性定理

　　1、課程內容

　　（1）解的存在唯一性定理與逐步逼近法

　　（2）解的延拓

　　（3）解對初值的連續性和可微性定理

　　（4）奇解

　　2、課程難點

　　解對初值的連續依賴性定理

　　3、考核要求

　　（1）識記：解的存在唯一性定理、解對初值的連續依賴性定理以及解對初值的可微性定理的條件、結論，奇解的定義。

　　（2）了解：解的延拓定理及方法、奇解的求法。

　　（3）理解：解的存在唯一性定理、解對初值的連續依賴性定理的意義。

　　（4）掌握：逐步逼近法的思想、近似解的求法。

　　（5）應用：運用解的存在唯一性定理解決相關問題。

　　4、考核目標

　　掌握證明存在唯一性定理的逐步逼近法，會用其數學方法解決相關問題；通過這部分內容的學習理解定性研究方程的基本思想。

　　（四）高階微分方程

　　1、課程內容

　　（1）線性微分方程的一般理論

　　（2）常系數線性微分方程的解法

　　（3）高階微分方程的降階和冪級數解法

　　2、課程難點

　　線性微分方程的一般理論

　　3、考核要求

　　（1）識記并理解：線性方程解的性質及通解的結構。

　　（2）了解：冪級數解法。

　　（3）掌握：常系數齊線性方程求解的歐拉待定指數函數法，歐拉方程的解法以及

　　非齊線性方程的比較系數法和常數變易法，高階方程的降階。

　　（4）應用：會運用這部分內容中相關定理的證明方法和思想解決問題。

　　4、考核目標

　　理解線性方程解的性質及通解的結構，掌握常系數線性方程的解法以及特殊高階方程的降階，并會用有關定理的證明方法和數學思想解決問題。

　　（五）線性微分方程組

　　1、課程內容

　　（1）存在唯一性定理

　　（2）線性微分方程組的一般理論

　　（3）常系數線性微分方程組

　　2、課程難點

　　基解矩陣的求法

　　3、考核要求

　　（1）識記并理解：方程組的向量形式的記法、方程組的解的存在唯一性定理，方程組一般理論，伏朗斯基行列式，基解矩陣以及矩陣指數的定義。

　　（2）掌握：線性方程組與高階線性方程的關系，常系數線性方程組基解矩陣和標準基解矩陣的求法，非齊線性方程組的常數變易法。

　　4、考核目標

　　理解任何一個高階線性方程的問題都可以化成一個線性方程組去解決，掌握常系數方程組基解矩陣的求法，并從中體會本課程與高等代數間的聯系，學習其解決問題的數學思想和方法。

　　三、有關說明和實施要求

　　（一）《常微分方程》從下面幾個層面上對考生進行考核

　　1、基本要求為“識記”、“了解”是對概念、理論的要求。

　　2、較高要求為“理解”、“掌握”是對方法和運算能力的要求。

　　3、更高要求為“應用”是對所學知識的綜合運用的要求。

　　（二）考試形式與試卷結構

　　考試采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為100分，考試時間為150分鐘。

　　試卷包括選擇題、填空題、判斷題、解答題、應用題和證明題。選擇題是四選一的單向選擇，填空題只要求填寫結果，判斷題直接給出“對”或“錯”，不必寫出計算過程或推證過程；解答題、應用題和證明題均應寫出文字說明、演算步驟或推證過程。

　　選擇題、填空題、判斷題分值合計為28分，解答題、應用題、證明題分值合計為72分。

　　（三）、自學方法指導：本課程概念較少，但計算與理論都占有很重要的地位。這就要求自學者要通過大量的例題、習題學會各種計算的方法和技巧以及基本理論的有關內容，主要是通過正確的判斷方程的類型并會用相應的方法求解方程，掌握存在唯一性定理以及線性方程（組）的解的結構定理和解的性質等定理的內容以及證明的思想方法。

　　（四）對助學的要求：第一、社會助學者應根據大綱規定的考試內容和考核目標，認真鉆研指定教材，明確本課程與其它課程的聯系與不同，對自學應考者進行切實有效的輔導，引導他們防止自學中的各種偏向，把握社會助學的正確方向；第二、要正確處理基本知識和應用能力的關系，努力引導自學應考者將識記、理解、掌握、會應用聯系起來，把基本知識轉化為解決問題的能力，在輔導的基礎上，幫助自學應考者建立用系統的觀點進行分析問題和解決問題的能力；第三、要正確處理重點和一般的關系。課程內容有重點和一般之分，但考試內容是全面的，而且重點與一般是相互影響的，不是截然分開的。社會助學者應指導自學應考者全面系統地學習教材內容，掌握全部考試內容和考核知識點，在此基礎上再突出重點。總之，要把重點學習同兼顧一般結合起來，切勿孤立地抓重點，把自學應考者引向猜題、模擬題。

河北省《常微分方程》課程自學考試模擬試卷

　　一、單項選擇題（本大題共4小題，每小題2分，共8分。在每小題給出的四個備選項中，選出一個正確的答案，并將所選項前的字母填寫在答題紙的相應位置上，填寫在其它位置上無效）

　　1、二階方程的初始條件是指（）

　　A. B.

　　C. D.

　　2、若，下列哪個一定是方程的解（）

　　A. B.

　　C. D.

　　3、方程通過變換（）可化為齊次方程。

　　A、 B、

　　C、 D、

　　4、已知是常系數齊線性方程組的基解矩陣，則expAt可以表示為（）